GRK 2965: Von Geometrie zu Zahlen: Moduli, Hodge Theorie, rationale Punkte

Ein wichtiges Ph?nomen in der Mathematik ist das Zusammenspiel von Geometrie und Zahlen. Eine erste Manifestation dieser Idee ist die Tatsache, dass man geometrischen Objekten algebraische Invarianten und insbesondere Zahlen zuordnen kann, die oft eine wichtige Rolle in der Klassifizierung spielen. Beispiele sind durch Betti- und Hodge-Zahlen, durch Schnittzahlen auf Modulr?umen, durch Mordell-Weil-R?nge und durch die Anzahl rationaler Punkte gegeben. Ein weiterer wichtiger Zusammenhang ist dadurch gegeben, dass viele grundlegende zahlentheoretische Fragen, wie die L?sbarkeit einer Diophantischen Gleichung, auf natürliche Weise geometrische Figuren beschreibt, deren Eigenschaften die zugrunde liegenden arithmetischen Probleme kontrollieren. Umgekehrt haben zahlreiche arithmetische Ideen und Methoden wichtige Anwendungen in Geometrie, insbesondere in Hodge-Theorie und Moduli-Theorie. Unser wissenschaftliches Programm konzentriert sich auf A) Hodge-Theorie und Topologie von algebraischen Variet?ten, B) Geometrie und Kombinatorik von Moduli, und C) Arithmetik von Moduli und rationale Punkte. Diese Bereiche sind eng miteinander verwoben. Fortschritte in einem Bereich fu?en h?ufig auf Ideen, Methoden oder Ergebnissen aus einem der anderen Gebiete. Typische Beispiele für das Zusammenspiel aller drei Bereiche sind die jüngsten Durchbrüche zur Verteilung von Hodge-Loci sowie zu effektiven Versionen von Faltings' Satz. Fortschritte bei Fragen zu Moduli führten zu bemerkenswerten Ergebnissen in der Topologie und Hodge-Theorie algebraischer Variet?ten. Gleichzeitig haben Techniken aus der Hodge-Theorie und der Garbentheorie wichtige Anwendungen auf die Modultheorie von Kurven, Fl?chen und abelschen Variet?ten. Zusammen mit der Expertise der beteiligten Gruppen der Humboldt-Universit?t zu Berlin und der Leibniz Universit?t Hannover bilden diese Verknüpfungen den Rahmen für unser Graduiertenkolleg. Das Ziel ist es unsere Methoden, Resultate und Expertise zu kombinieren um grundlegende Probleme in allen drei oben genannten Bereichen anzugehen. Unser Kolleg bietet ein Umfeld für ehrgeizige Promotionsprojekte und ein breites und zugleich fokussiertes Qualifikationsprogramm, welches die Doktoranden Schritt für Schritt darauf vorbereitet, unabh?ngige Forschung zu betreiben. Unsere Betreuungsstrategie basiert auf einer engen Zusammenarbeit zwischen den beiden Standorten, in der Regel mit einer Doktormutter bzw. einem Doktorvater des einen und einer Co-BetreuerIn des anderen Standorts, und stützt sich auf eine Vielzahl gemeinsamer Aktivit?ten. Unser Ziel ist es, unseren Doktorandinnen und Doktoranden ein inspirierendes Umfeld für au?ergew?hnliche Leistungen w?hrend ihrer Promotion im anregenden Kontext zweier aktiver und international sichtbarer Forschungsgruppen in Berlin und Hannover zu bieten. Gemeinsam setzen wir uns dafür ein, unseren Studierenden exzellente Perspektiven für eine vielversprechende Karriere in oder au?erhalb der Wissenschaft zu er?ffnen.