Flexible Regressionsmethoden für Kurven and Formen

Das übergeordnete Ziel dieses Projekts ist die Erweiterung des methodischen Instrumentariums für die flexible Regression für Kurven- und Formdaten, das in der ersten F?rderperiode in mehrere Richtungen entwickelt wurde. Insbesondere haben wir mehrere Bereiche identifiziert, in denen es noch Lücken in der Literatur gibt, siehe auch unsere Diskussion dieser offenen Probleme in St?cker et al. (2024), die – obwohl sie damit zusammenh?ngen – in der ersten F?rderperiode noch nicht behandelt wurden. Diese betreffen insbesondere den schwierigen Fall der Re-Parametrisierungsinvarianz (elastische Analyse), bei dem nur eine Quotientenmetrikraumstruktur anstelle einer Mannigfaltigkeitsstruktur verfügbar ist und der auch für den Fall beider Arten von Invarianzen gleichzeitig angegangen werden muss. Dazu geh?ren insbesondere:

1. Fehleranf?llige Beobachtungen: W?hrend wir uns in der ersten F?rderperiode mit dem realistischen Fall sp?rlicher Beobachtungen befasst haben – eine neuartige Entwicklung im Vergleich zu bisher bestehenden elastischen Funktions- und Funktionsformdatenmethoden –, haben wir zus?tzliche Fehler nicht explizit berücksichtigt. Fehler in Kurvenbeobachtungen sind aufgrund ungenauer Messungen in Anwendungen zwar wahrscheinlich h?ufig (?hnlich wie im Fall sp?rlicher Funktionsdaten), stellen jedoch auch erhebliche zus?tzliche Herausforderungen dar, insbesondere für elastische Methoden, die auf Ableitungen im Rahmen der Quadratwurzelgeschwindigkeit basieren.

2. Elastische funktionale und funktionale Formkovariaten: W?hrend wir uns in der ersten F?rderperiode auf den Fall elastischer funktionaler und funktionaler Formresultate konzentriert haben, ist der Fall entsprechender Kovariaten noch nicht zufriedenstellend gel?st. In St?cker et al. (2024) diskutieren wir, warum ein bestehender Ansatz (Ahn et al., 2020) für elastische Kovariaten mehrere M?ngel aufweist.

3. Wie in Volkmann et al. (2023a) und Volkmann et al. (2023b) für den Fall multivariater Funktionsdaten erneut nachgewiesen wurde, ist die Hauptkomponentenanalyse (PCA) ein wichtiges Instrument zur Visualisierung der Variabilit?t in komplexen Daten und dient als Baustein für andere Analysemethoden, einschlie?lich sparsamer Basisdarstellungen in Regressionsmodellen. Die multivariate funktionale PCA (MFPCA) w?re im elastischen Fall ?hnlich nützlich.